Résoudre une fonction polynôme du second degré

Cours

Pour résoudre une fonction polynôme du second degré, telle que $f(x) = ax^2 + bx + c$, il faut tout d'abord trouver son discriminant, noté $\Delta$.

$\Delta = b^2 - 4ac$

Si $\Delta > 0 $, alors il existe deux solutions nommées racines ($x1$ et $x2$) qui correspondent aux deux abscisses par lesquels la courbe passe.

Si $\Delta = 0 $, alors il existe une seule solution nommée alpha ($\alpha$) qui correspond au sommet de la courbe et touche l'axe des abscisses en ce point. L'ordonnée est donc, dans ce cas, égale à 0.

Si $\Delta < 0 $, alors il n'existe pas de solution. L'axe des abscisses n'est jamais traversée ni touchée.

Si $a > 0$, la courbe est une parabole (une courbe qui forme un sourire).

Si $a = 0$, la fonction n'est pas un polynôme du second degré, le théorème ne s'applique donc pas.

Si $a < 0$, la courbe est une hyperbole (une courbe qui semble triste).

Si $a \ne 0$, le sommet de la courbe a toujours pour coordonnées ($\alpha;\beta$), sachant que :

Exemple

Classiquement on a : $f(x) = ax^2 + bx + c$

Donc si :

• $a = 1$
• $b = 1$
• $c = -2$

alors on a : $f(x) = 1x^2 + 1x + (-2)$, ce que l'on peut simplifier par $f(x) = x^2 + x -2$.

Cherchons alors $\Delta$.

$\Delta = b^2 - 4ac$

Par consequent :

$\Delta = (1)^2 - [(4)*(1)*(-2)]$

$\Delta = 1 - [-8]$

$\Delta = 1 + 8$

$\Delta = 9$

Une fois que l'on connaît le discriminant, il convient de vérifier son signe. En l'occurrence $\Delta > 0$, il y aura donc deux solutions $x1$ et $x2$ qui seront les abscisses par lesquels la courbe passera.

On peut également vérifier le signe de $a$, soit 1 qui est donc positif. La courbe sera alors une parabole.

Avec ces deux éléments on sait déjà à quoi ressemblera le graphique. À savoir une courbe qui descend passe par l'abscisse $x1$, remonte et passe par l'abscisse $x2$.

$x1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1-\sqrt{9}}{2*1} = \frac{-1-\sqrt{9}}{2} = \frac{-1-3}{2} = -\frac{4}{2} = -2 $

$x2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1+\sqrt{9}}{2*1} = \frac{-1-+\sqrt{9}}{2} = \frac{-1+3}{2} = -\frac{2}{2} = 1 $

Les deux racines de la fonction sont donc $-2$ et $1$.

La courbe passera donc par $-2$ et $1$.

On peut alors écrire la fonction sous la forme suivante :